概率密度空间下的随机变量的转换映射

单随机变量传递

考虑到随机变量$X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$, $g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$是一个波莱尔可测函数。于是我们得到了$Y = g(X)$,我们要计算$Y$的分布。我们通过CDF$F_X(x)$来计算$F_Y(y)$

设$\mathbf{B}_y$ 是满足$g(x)\le y$的所有的$x$的set,所以我们能得到$F_Y(y) = \mathbb{P}_X(B_y )$

例子1
设$X\sim \mathcal{N}(0,1)$,并设$Y = X^2$
$F_Y(y) = \mathbb{P}(X^2 \le y) = \mathbb{P}(-\sqrt { y}\le X \le \sqrt{y} )= \Phi(\sqrt{y})-\Phi(-\sqrt{y})$
其中$\Phi$ 是$\mathcal{N}(0,1)$的CDF
同时我们知道

因为

且$t^2 = u$我们得到

我们知道:

  1. $Y$为非负值
  2. 这种高斯随机的开方分布$f_Y(y)$被称为Chi-squared分布

如果方程是可微和单调的,那我们可以直接获得转换后的分布

设$X$的密度函数为$f_X(x)$,$g$是一个单调递增的函数,并假设$Y = g(X)$,于是我们有

因为$g$是单调递增的函数,$g(x)\le y \Rightarrow x \le g^{-1}(y)$
因为$x = g^{-1}(t)$, 所以$g’(x)dx=dt$

微分可得

$\frac{1}{g’(g^{-1}(y))}$可看为一个雅各比转换。
对于递减函数

所以我们可以得到

参考