概率密度空间下的随机变量的转换映射

单随机变量传递

考虑到随机变量\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\), \(g: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)是一个波莱尔可测函数。于是我们得到了\(Y = g(X)\),我们要计算\(Y\)的分布。我们通过CDF\(F_X(x)\)来计算\(F_Y(y)\) \[ F_Y(Y) = \mathbb{P}(g(X)\le y) = \mathbb{P}(\{\omega |g(X(\omega))\le y\}) \]\(\mathbf{B}_y\) 是满足\(g(x)\le y\)的所有的\(x\)的set,所以我们能得到\(F_Y(y) = \mathbb{P}_X(B_y )\)

例子1 设\(X\sim \mathcal{N}(0,1)\),并设\(Y = X^2\) \(F_Y(y) = \mathbb{P}(X^2 \le y) = \mathbb{P}(-\sqrt { y}\le X \le \sqrt{y} )= \Phi(\sqrt{y})-\Phi(-\sqrt{y})\) 其中\(\Phi\)\(\mathcal{N}(0,1)\)的CDF 同时我们知道 \[ f_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} \] 因为 \[ F_Y(y)= 2*\int _{0 }^{ \sqrt{y} }{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-t^2}{2}}dt} \]\(t^2 = u\)我们得到 \[ F_y(y)= 2*\int _{0 }^{ y }{ \frac{1}{2\sqrt{2\pi}u} e^{\frac{-u}{2}}du} \] \[ f_Y(y)= \frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{\frac{-u}{2}}, for\quad y>0 \] 我们知道: 1. \(Y\)为非负值 2. 这种高斯随机的开方分布\(f_Y(y)\)被称为Chi-squared分布

如果方程是可微和单调的,那我们可以直接获得转换后的分布

\(X\)的密度函数为\(f_X(x)\),\(g\)是一个单调递增的函数,并假设\(Y = g(X)\),于是我们有 \[ F_Y(y) = \mathbb{P}(Y \le y)= \mathbb{P}(g(X)\le y) = \int ^{ g^{-1}(y) }_{ -\infty }{ f_x(x) }dx \] 因为\(g\)是单调递增的函数,\(g(x)\le y \Rightarrow x \le g^{-1}(y)\) 因为\(x = g^{-1}(t)\), 所以\(g'(x)dx=dt\) \[ F_Y(y) = \int ^{ y }_{ -\infty }{ f_X(g^{-1}(t)) }\frac{dt}{g'(g^{-1}(t))} \] 微分可得 \[ f_Y(y) = { f_X(g^{-1}(y)) }\frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \] \(\frac{1}{g'(g^{-1}(y))}\)可看为一个雅各比转换。 对于递减函数 \[ f_Y(y) = { f_X(g^{-1}(y)) }\frac{-1}{g'(g^{-1}(y))} \] 所以我们可以得到 \[ f_Y(y) = { f_X(g^{-1}(y)) }\frac{1}{|g'(g^{-1}(y))|} \]

参考