伯努利滤波器(五)——拓展目标的测量模型

这里拓展目标的含义是指目标在传感器中的大小大于分辨率,它占多个像素点。

测量模型

基于点状测量模型,我们得到\(\mathbf{W} = \cup^R_{r=1} \mathbf{W}_r\),这被称为 multi-Bernoulli RFS。但是这个模型过于复杂。所以我们简化RFS \(\mathbf{W}\) 为二项式 RFS。这样,我们就不再跟踪单个的离散点,而是跟踪物体质心及其形状/大小。所以我们得到RFS的FISST PDF是:

\[ \eta(\mathbf{W}|\{\mathbf{m}\}) = \frac{L!}{(L-|\mathbf{W}|)!} p_d^{|\mathbf{W}|}[1-p_d]^{L -|\mathbf{W}|} \prod_{\mathbf{w}\in\mathbf{W}} h(\mathbf{w}|\mathbf{m}) = \left \{ \begin{matrix} (1-p_d)^L & if \mathbf{W}=\emptyset \\ Lp_d(1-p_d)^{L-1}h(\mathbf{w}|\mathbf{m}) & if\mathbf{W}=\{\mathbf{w}\} \\ ... & \\ L!p_d^Lh(\mathbf{w}_1|\mathbf{m})...h(\mathbf{w}_R|\mathbf{m}) & \end{matrix} \right . \]

通常来说\(p_d\)是依据\(\mathbf{m}\)而不变,这里我们忽略了,简化为常数。在现实中,我们不仅仅考虑物体的坐标,还会考虑物体速度和形状,我们假设存在一个映射\(l(\mathbf{m})\),它从状态空间映射到测量空间。因为\(\mathbf{m}\)是RCS(random closed set),那么\(h(\mathbf{m})\)也是RCS。我们定义广义似然函数(generalized likelihood function,GLF) \(\tilde{ g }(\mathbf{w}|\mathbf{m})= P\{\mathbf{w}\in l(\mathbf{m})\}\)

下一步我们就是计算检测拓展目标的观测模型,同样先考虑\(\mathbf{M} = \emptyset\), 我们\(h_k(\mathbf{Z}|\emptyset) = \kappa(\mathbf{Z})\), 这导致了

\[ h(\mathbf{Z}|\{\mathbf{m}\}) = \eta(\emptyset|\{\mathbf{m}\})\kappa(\mathbf{Z})+\sum_{\Omega \in P_{1:L}(\mathbf{Z})}\eta(\Omega|\{\mathbf{m}\})\kappa(\mathbf{Z \backslash\Omega }) \] 其中\(P_{1:L}(\mathbf{Z})\)\(\mathbf{Z}\)全子集。如果\(L \ge |\mathbf{Z}|\)\(\mathbf{Z}\) 的幂集减去空集。所以我们可以简化得到:

\[ h(\mathbf{Z}|\{\mathbf{m}\}) =\kappa(\mathbf{Z})\{(1-p_d)^L+\sum_{\Omega \in P_{1:L}(\mathbf{Z})}\frac{L!}{(L-|\mathbf{\Omega}|)!}p_d^{|\Omega|}(1-p_d)^{L-|\Omega|}\prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}} { \frac{h(\mathbf{z}|\mathbf{m})}{\lambda c(\mathbf{z}) } } \} \]

更新方程

我们得到

\[ f(\mathbf{Z}_k|\mathbf{Z}_{1:k-1}) = \kappa(\mathbf{Z})\{1-q_{k|k-1}+q_{k|k-1}(1-p_d)^{L_k}+\sum_{\Omega \in P_{1:L_k}(\mathbf{Z})}\phi_k\frac{\int \prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}}h_k(\mathbf{z}|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}{\prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}}\lambda c(\mathbf{z})} \} \] 其中

\[ \phi = \frac{L_k!}{(L_k - |\Omega|)!}\frac{p_d^{|\Omega|}}{(1-p_d)^{|\mathbf{\Omega}|-L_k}} \]

当我们考虑\(\mathbf{M} = \emptyset\),我们能得到

\[ q_k = \frac{1-\triangle _k }{1-q_{k|k-1}\triangle _k}q_{k|k-1} \]

\[ \triangle _k =1-(1-p_d)^{L_k}-\sum_{\Omega \in P_{1:L_k}(\mathbf{Z})}\phi_k\frac{\int \prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}}h_k(\mathbf{z}|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}{\prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}}\lambda c(\mathbf{z})} \]\(\mathbf{M}= \{\mathbf{m}\}\)

\[ s_{k}(\mathbf{m}) = \frac{ (1-p_d)^{L_k}+\sum_{\Omega \in P_{1:L_k}(\mathbf{Z})}\phi_k\prod_{\mathbf{z}\in \mathbf{\Omega}} { \frac{h(\mathbf{z}|\mathbf{m})}{\lambda c(\mathbf{z}) } }}{1-\triangle_k}s_{k|k-1}(\mathbf{m}) \]\(L_k = 1\)时,方程就和标准的检测模型一样。