伯努利滤波器(四)—— 点状测量信息模型

监测测量(点状目标)

测量模型

假设测量RFS为 \(\mathbf{Z}= \{\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2,..,\mathbf{z}_r\}\), \(r = |\mathbf{Z}|\)\(\mathbf{Z} = \mathbf{C}\cup \mathbf{W}\)\(\mathbf{C}\) 是失败监测(clutter)的 RFS。\(\mathbf{W}\) 是目标的RFS。我们假设观测的 RFS 为\(\mathbf{Z}=\{\mathbf{z}_1,\mathbf{z}_2,..,\mathbf{z}_r\}\)。同时,这些观测是无序的。

\(\mathbf{Z}\)可以看成由两部分 RFS 组成: \[ \mathbf{Z} = \mathbf{C} \cup \mathbf{W} \]

\(C\)是检测失败的 RFS (比如 clutter),\(W\) 是监测目标的 RFS。我们假设这些都是点目标,设监测失败的目标数目\(\lambda\)服从泊松分步: \[ P\{|C|=s\}=\frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}, r=0,1,2,... \] clutter 的 FISST PDF 是: \[ h(\mathbf{Z}|\emptyset)=\kappa (\mathbf{Z})= e^{-\lambda}\prod_{\mathbf{z}\in\mathbf{Z}\lambda}\lambda c(\mathbf{z}) \]

为了计算\(h(\mathbf{Z}|\{\mathbf{m}\})\),我们需要先去计算\(\mathbf{W}|\{\mathbf{m}\}\)的 FISST PDF \(\eta (\mathbf{W}|\{\mathbf{m}\})\), \[ \eta (\mathbf{W}|\{\mathbf{m}\})= \left \{ \begin{matrix} p_d(\mathbf{m})h(\mathbf{z}|\mathbf{m}) & if \quad \mathbf{W} = \{\mathbf{z}\} \\ 1- p_d(\mathbf{m}) & if \quad \mathbf{W}= \emptyset \end{matrix}\right . \] 基于卷积定理,我们可以知道 \[ h(\mathbf{Z}|\{\mathbf{m}\})= \sum_{\mathbf{W}\subseteq \mathbf{Z}}\eta(\mathbf{W}|\{\mathbf{m}\})\kappa(\mathbf{Z}\backslash \mathbf{W}) \] 。因为 RFS \(W\) 或者是空,或者是一个目标,简化上式,我们可以得到。

\[ h(\mathbf{Z}|\{\mathbf{m}\})= \eta (\emptyset|\{\mathbf{m}\})\kappa(\mathbf{Z})+\sum_{\mathbf{z}\subseteq \mathbf{Z}}\eta(\{\mathbf{z}\}|\{\mathbf{m}\})\kappa(\mathbf{Z}/ \{\mathbf{z}\}) = \kappa(\mathbf{Z})[1-p_d(\mathbf{m})+ p_d(\mathbf{m}) \sum_{\mathbf{z}\in\mathbf{Z}}h(\mathbf{z}|\mathbf{m})\frac{\kappa(\mathbf{Z}/ \{\mathbf{z}\})}{\kappa(\mathbf{Z})}] \]

更新方程

这里 更新的FISST PDF变成了: \(f_{k|k} = \frac{h_k(\mathbf{Z}_k|\mathbf{M}_k)f_{k|k-1}(\mathbf{M}_k|\mathbf{M}_{1:k-1})}{f_k(\mathbf{Z}_k|\mathbf{Z}_{1:k-1})}\) 其中 \[f_{k}(\mathbf{Z}_k|\mathbf{Z}_{1:k-1})= (1-q_{k|k-1})h_k(\mathbf{Z}_k|\emptyset)+q_{k|k-1}\int h_k(\mathbf{Z}_k|\{\mathbf{m}\})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d_{\mathbf{m}}\]

\[f_{k}(\mathbf{Z}_k|\mathbf{Z}_{1:k-1})= \kappa \{1-q_{k|k-1}\int p_d(\mathbf{\mathbf{m}})s_{k|k-1(\mathbf{m})d_{\mathbf{m}}}+ q_{k|k-1}\sum_{\mathbf{z}\in\mathbf{Z}_k}\frac{\kappa(\mathbf{Z}_k\backslash \{\mathbf{z}\})}{\kappa{(\mathbf{Z}_k)}}\int p_d(\mathbf{m})h_k(\mathbf{Z}_k|\{\mathbf{m}\})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d_{\mathbf{m}} \} \]

所以我们得到 \[ \int f_{k}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}_{1:k})\delta{\mathbf{M}} = 1 \]

我们考虑\(\mathbf{M}_k = \emptyset\)情况下的\(f_k(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}_{1:k})\),我们能得到: \[ \frac{\kappa(\mathbf{Z}_k\backslash \{\mathbf{z}\})}{\kappa{(\mathbf{Z}_k)}} = \frac{1}{\lambda c(\mathbf{z})} \] 同时还能得到 \[ f_k(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}_{1:k}) = 1 - q_k \] 于是通过上面的式子,我们可知 \[ q_k = \frac{1 - \Delta_k}{1 - q_{k|k-1}\Delta_k}q_{k|k-1} \] 其中 \[ \Delta _k = \int p_d(\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}-\sum_{\mathbf{z}\in \mathbf{Z}_k }\frac{\int p_d(\mathbf{m})h_k(\mathbf{z}|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}{\lambda c(\mathbf{z})} \] 如果\(p_d\)是个常数,于是我们可以得到 \[ \Delta _k = p_d(1-\sum_{\mathbf{z}\in \mathbf{Z}_k}\frac{\int h_k(\mathbf{z}|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m}d\mathbf{m})}{\lambda c(\mathbf{m})}) \] 因为\(s_{k|k-1}\)是常规 PDF,趋近于1.

然后我们考虑\(\mathbf{M}_k = \{\mathbf{m}\}\)情况下的\(f_k(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}_{1:k})\),同时我们知道\(f_k(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}_{1:k}) = q_k s_k(\mathbf{m})\) 我们能得到 \[ s_k(\mathbf{m}) =\frac{1-p_d(\mathbf{m}+p_d(\mathbf{m})\sum_{\mathbf{z}\in\mathbf{Z}_k})\frac{g_k(\mathbf{z}|\mathbf{x})}{\lambda c (\mathbf{z})}}{1- \Delta _k} s_{k|k-1}(\mathbf{m}) \] 如果\(q_{k|k-1} =1\), \(p_d =1\)\(q_k = 1\), 并没有失败的监测,一个物体一个监测, \[ s_{k}(\mathbf{m}) = \frac{h_k(\mathbf{z}_k|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})}{\int h_k(\mathbf{z}_k|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m}) d \mathbf{m}} \]