伯努利滤波器(四)—— 点状测量信息模型

监测测量(点状目标)

测量模型

假设测量RFS为 $\mathbf{Z}= {\mathbf{z}_1, \mathbf{z}_2,..,\mathbf{z}_r}$, $r = |\mathbf{Z}|$。$\mathbf{Z} = \mathbf{C}\cup \mathbf{W}$,$\mathbf{C}$ 是失败监测(clutter)的 RFS。$\mathbf{W}$ 是目标的RFS。我们假设观测的 RFS 为$\mathbf{Z}={\mathbf{z}_1,\mathbf{z}_2,..,\mathbf{z}_r}$。同时,这些观测是无序的。

$\mathbf{Z}$可以看成由两部分 RFS 组成:

$C$是检测失败的 RFS (比如 clutter),$W$ 是监测目标的 RFS。我们假设这些都是点目标,设监测失败的目标数目$\lambda$服从泊松分步:

clutter 的 FISST PDF 是:

为了计算$h(\mathbf{Z}|{\mathbf{m}})$,我们需要先去计算$\mathbf{W}|{\mathbf{m}}$的 FISST PDF $\eta (\mathbf{W}|{\mathbf{m}})$,

基于卷积定理,我们可以知道

\是自差分。因为 RFS $W$ 或者是空,或者是一个目标,简化上式,我们可以得到。

更新方程

这里 更新的FISST PDF变成了:
$f{k|k} = \frac{h_k(\mathbf{Z}_k|\mathbf{M}_k)f{k|k-1}(\mathbf{M}k|\mathbf{M}{1:k-1})}{fk(\mathbf{Z}_k|\mathbf{Z}{1:k-1})}$
其中

所以我们得到

我们考虑$\mathbf{M}k = \emptyset$情况下的$f_k(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}{1:k})$,我们能得到:

同时还能得到

于是通过上面的式子,我们可知

其中

如果$p_d$是个常数,于是我们可以得到

因为$s_{k|k-1}$是常规 PDF,趋近于1.

然后我们考虑$\mathbf{M}k = {\mathbf{m}}$情况下的$f_k(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}{1:k})$,同时我们知道$fk(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}{1:k}) = q_k s_k(\mathbf{m})$
我们能得到

如果$q_{k|k-1} =1$, $p_d =1$ 和 $q_k = 1$, 并没有失败的监测,一个物体一个监测,