伯努利滤波器(三)—— 强度测量信模型息

强度观测模型

这个模型的应用在:图像的像素点,在距离-多普勒-方位地图上的一个点,传感器网络上的一个节点。我们能将\(n\)个测量值存储在一个测量向量中,\(\mathbf{z}_k = [z^1_k,z^2_k,...,z^n_k]^T\),

\[ z^r_k = \left \{ \begin{matrix} c^r_k(\mathbf{m}_k)+ w^r_k & if \quad\mathbf{M}_k= {\mathbf{m}_k} \\ w^r_k & if \quad \mathbf{M}_k = \emptyset \end{matrix}\right . \]

\(c^r_k(\mathbf{m}_k)\)\(\mathbf{m}_k\) 的体现,\(w^r_k\) 是 r-th 观测的噪声,噪声的同分布是根据 PDF \(g^{(r)}_0\)\(h^r_k\) 可以采用模型有:Gaussian point spread function, the inverse distance squared law, 和 an ambiguity function。\(\mathbf{g}^r_1\)\(\mathbf{m}_k\) 的观测为 \(r-th\) 观测。所以我们能定义似然函数为:

\[ h_k(\mathbf{z}|\mathbf{X}_k) = \left \{ \begin{matrix} \Pi^n_{s=1} g^r_1(z^r_k | \mathbf{m}) & if \quad\mathbf{M}_k= \{\mathbf{m}_k\} \\ \Pi^n_{s=1} g^r_0(z^r_k) & if \quad \mathbf{M}_k = \emptyset \end{matrix}\right . \]

更新方程(update equations)

因为非 FISST 的数学模型及其复杂,对于强度观测模型的更新方程是基于 FISST。更新的 FISST PDF 遵循 Bayes 定律: \[ f_{k}(\mathbf{M}_k|\mathbf{z}_{1:k}) = \frac{h_k(z_k|\mathbf{M}_k)f_{k|k-1}(\mathbf{M}_k|\mathbf{z}_{1:k-1})}{p_k(z_k|z_{1:k-1})} \] 其中 \[ p_k(z_k|z_{1:k-1}) = \int{h_k(\mathbf{z}_k|\mathbf{M})f_{k|k-1}(\mathbf{M}|z_{1:k-1})}\delta\mathbf{M}=(1-q_{k|k-1})h_k(\mathbf{z}_k|\emptyset) + q_{k|k-1}\int h_k(\mathbf{z}_k|{\mathbf{M}})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d_{\mathbf{m}} \] 同时因为 \[ f_{k}(\mathbf{M}|\mathbf{z}_{1:k})=0 \quad if \quad |\mathbf{M}|\ge2 \] 所以我们可以得到 \[ \int f_{k}(\mathbf{M}|\mathbf{z}_{1:k})\delta \mathbf{M} = 1 \] \(f_{k}(\mathbf{M}_k|\mathbf{z}_{1:k})\)是伯努利 RFS 的 FISST 概率密度。

\(\mathbf{M}_k = \emptyset\)\[ f_k(\emptyset|\mathbf{z}_{1:k}) = \frac{h_k(\mathbf{z}_k|\emptyset)f_{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{z}_{1:k-1})}{(1-q_{k|k-1})h_k(\mathbf{z}_k|\emptyset)+q_{k|k-1}\int h_k(\mathbf{z}_k|{\mathbf{m}})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}} \] 于是有 \[ 1-q_k=\frac{1-q_{k|k-1}}{1-q_{k|k-1}+q_{k|k-1}\int l_k(\mathbf{z}_k|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d_{\mathbf{m}}} \] 这里 \[ l_k(\mathbf{z}_k|\mathbf{m})= \frac{h_k(\mathbf{z}_k|{\mathbf{m}{}})}{h_k(\mathbf{z}_k|\emptyset)}=\Pi^n_{r=1} \frac{g^r_1(\mathbf{z}^r_k|\mathbf{m})}{g^r_0(\mathbf{z}^r_k)} \] 这是量测似然度比(measurement likelihhod ratio)。 \[ q_{k}=\frac{q_{k|k-1}\int l_k(\mathbf{z}_k|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}}{1-q_{k|k-1}+q_{k|k-1}\int l_k(\mathbf{z}_k|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}} \] 这一个有效的先验存在概率的贝叶斯更新。

因为 \(f_k(\{\mathbf{m}\}|\mathbf{z}_{1:k}) = q_{k}s_{k}(\mathbf{m})\) 首先,我们可以得到 \[ q_k s_k(\mathbf{m}) = \frac{q_{k|k-1}l_k(\mathbf{z}_k|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})}{1-q_{k|k-1}+q_{k|k-1}\int l_k(\mathbf{z}_k|\mathbf{m})s_{k|k-1}(\mathbf{m})d\mathbf{m}} \] 于是我们可知 \[ s_k(\mathbf{m}) = \frac{h_k(\mathbf{z}_k|\{\mathbf{m}\})s_{k|k-1}(\mathbf{m})}{\int{h_k(\mathbf{z}_k|\{\mathbf{m}\})s_{k|k-1}(\mathbf{m})}d\mathbf{m}} \]