伯努利滤波器(二)——随机动态方程和更新函数

伯努利滤波器的预测方程

在跟踪问题中,我们主要考虑的是动态系统,目标的状态和数目会随时间而发生变化,每个目标也只是在一段时间内出现在视野内。根据伯努利的 RFS 方程可知,\(q\)为一个物体存在的概率,他的 RFS 是\(p(\mathbf{m})\)。同时我们假设当\(|\mathbf{M}|>2\)时,\(f(\mathbf{M})= 0\)。于是基于上文中的 set integral (集积分),我们得到: \[ \int f(\mathbf{M})\delta \mathbf{M} = f(\emptyset) + \int f({\mathbf{m}})d{\mathbf{m}} \]

因为\(p(\mathbf{m})\)\(\textit{M}\)的常规PDF,下面的式子趋近于1。

\[ \int{f(\mathbf{M})}\delta\mathbf{M}= 1 -q + q \int{g\varphi(\mathbf{m})}d_{\mathbf{m}} =1\]

如果,目标出现,我们假设这是一个已知传递密度\(p_{k|k-1}(\mathbf{m}|\mathbf{m}')\)。我们采用\(\varepsilon_k \in \{0,1\}\)来表示目标存在。\(\varepsilon_k \in \{0,1\}\)的动态变化可以通过一个一阶马尔可夫链,其传递概率矩阵(TPM)是\(\Pi\), \([\Pi]_{ij}= P\{\varepsilon_k = j-1|\varepsilon_{k-1}= i -1\}, i,j\in\{1,2\}\)。于是我们得到

\[ \Pi = \left[ \begin{matrix} (1-p_b) & p_b \\ (1-p_s) & p_s \end{matrix} \right] \]

举个例子,\(p_b = P\{\varepsilon_{k+1} = 1|\varepsilon_k = 0 \}\) 表示birth的概率。birth的密度是\(b_{k|k-1}(\mathbf{m})\)。 总体来说,我们可以计算传递FISST PDF \(\phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{M}')\)

\[ \phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|\emptyset) = \left \{ \begin{matrix} 1-p_b & if \quad\mathbf{M}= \emptyset \\ p_bb_{k|k-1}(\mathbf{m}) & if \quad \mathbf{M} = {\mathbf{m}} \\ 0 & if \quad |\mathbf{M}|\ge 2 \end{matrix}\right . \]

\[ \phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|\{\mathbf{m}'\}) = \left \{ \begin{matrix} 1-p_b & if \quad\mathbf{M}= \emptyset \\ p_sp_{k|k-1}(\mathbf{m}|\mathbf{m}') & if \quad \mathbf{M} = {\mathbf{m}} \\ 0 & if \quad |\mathbf{M}|\ge 2 \end{matrix}\right . \]

伯努利滤波器的预测方程

我们设后验FISST PDF为\(f_{k}(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}_{1:k})\),他包含两个部分

  • 存在目标的后验概率\(q_{k} = P\{|\mathbf{M}_k|= 1|\mathbf{Z}_{1:k}\}\).
  • 后验空间PDF \(s_k(\mathbf{M}) = p(\mathbf{m}_k|\mathbf{Z}_{1:k})\)

根据RFS框架下的贝叶斯滤波器,我们可知

\[ f_{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}_{1:k-1}) = \int{\phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{M}')f_{k-1}(\mathbf{M}'|\mathbf{Z}_{1:k-1})}\delta{\mathbf{M}'} = \phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|\emptyset)f_{k-1}(\emptyset|\mathbf{Z_{1:k-1}})+\int\phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|\{\mathbf{m}'\})f_{k-1}(\{\mathbf{m'}|\mathbf{Z}_{1:k-1}\})d\mathbf{m}' \] 其中

\[ f_{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}_{1:k-1}) = \phi_{k|k-1}(\emptyset|\emptyset)f_{k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}_{1:k-1}) + \int{\phi_{k|k-1}(\emptyset|\{\mathbf{m}'\})f_{k-1}(\{\mathbf{m'}\}|\mathbf{Z}_{1:k-1})}d\mathbf{m}' = (1-p_b) =(1-p_b)(1-q_{k-1})+(1-p_s)q_{k-1} \]

\[ f_{k|k-1}(\{\mathbf{x}\}|\mathbf{Z}_{1:k-1}) = \phi_{k|k-1}(\{\mathbf{m}\}|\emptyset)f_{k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}_{1:k-1}) + \int \phi_{k|k-1}(\{\mathbf{m}\}|\{\mathbf{m}'\})f_{k-1}(\mathbf{m}'|\mathbf{Z}_{1:k-1})d\mathbf{m}' = p_b(1-q_{k-1})b_{k|k-1}(\mathbf{m}) + p_s q_{k-1}\int{p_{k-1}(\mathbf{m}|\mathbf{m}')s_{k-1}(\mathbf{m}')d_{\mathbf{m}'}} \] 同时因为 \(f_{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}_{1:k-1}) = 0, if |\mathbf{M}|\ge2\) 所以我们能够证实\(\int{f_{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}_{1:k-1})}\delta\mathbf{M} = 1\) 于是我们还可以得到

\[ 1-q_{k|k-1} = f_{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}_{1:k-1}) =(1-p_b)(1-q_{k-1})+(1-p_s)q_{k-1} = (1-p_b)(1-q_{k-1})+(1-p_s)q_{k-1} \] 然后

\[ q_{k|k-1} = p_b(1-q_{k-1})+p_sq_{k-1} \] 所以,我们也明白了思路,计算\(q_{k|k-1}\)需要从\(f_{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}_{1:k-1})\),因为 \(f_{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}_{1:k-1}) = 1 - q_{k|k-1}\)。 我们也能知道,一个物体持续存在的概率包括两部分:新生物体被误认为持续存在的概率和正在持续存在的概率。 根据\(f_{k|k-1}(\{\mathbf{x}\}|\mathbf{Z}_{1:k-1})= s_{k|k-1}q_{k|k-1}\),我们能得到,

\[ s_{k|k-1} = \frac{p_b(1-q_{k-1}b_{k|k-1}(\mathbf{m})}{q_{k|k-1}}+\frac{p_sq_{k-1}\int{p_{k|k-1}}(\mathbf{m}|\mathbf{m}')s_{k-1}(\mathbf{m}')d\mathbf{m}'}{q_{k|k-1}} \] 如果\(p_b = 0\), \(q_{k-1} =1\), \(s_{k|k-1}\) 就是标准的Chapman-Kolmogorov

\(\mathbf{m}\) 是 state, \(\mathbf{M}\) 是 RFS, \(\textit{M}\) 是 set of states

\(f\)-> RFS, \(s\)->后验PDF(空间上), \(q\)->物体继续存在的后验概率,\(p_{k|k-1}\)->传递密度\(\pi_{k|k-1}\)