伯努利滤波器(二)——随机动态方程和更新函数

伯努利滤波器的预测方程

在跟踪问题中,我们主要考虑的是动态系统,目标的状态和数目会随时间而发生变化,每个目标也只是在一段时间内出现在视野内。根据伯努利的 RFS 方程可知,$q$为一个物体存在的概率,他的 RFS 是$p(\mathbf{m})$。同时我们假设当$|\mathbf{M}|>2$时,$f(\mathbf{M})= 0$。于是基于上文中的 set integral (集积分),我们得到:

因为$p(\mathbf{m})$ 是$\textit{M}$的常规PDF,下面的式子趋近于1。

如果,目标出现,我们假设这是一个已知传递密度$p{k|k-1}(\mathbf{m}|\mathbf{m}’)$。我们采用$\varepsilon_k \in {0,1}$来表示目标存在。$\varepsilon_k \in {0,1}$的动态变化可以通过一个一阶马尔可夫链,其传递概率矩阵(TPM)是$\Pi$, $[\Pi]{ij}= P{\varepsilonk = j-1|\varepsilon{k-1}= i -1}, i,j\in{1,2}$。于是我们得到

举个例子,$pb = P{\varepsilon{k+1} = 1|\varepsilonk = 0 }$ 表示birth的概率。birth的密度是$b{k|k-1}(\mathbf{m})$。
总体来说,我们可以计算传递FISST PDF $\phi_{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{M}’)$

伯努利滤波器的预测方程

我们设后验FISST PDF为$f{k}(\mathbf{M}_k|\mathbf{Z}{1:k})$,他包含两个部分

  • 存在目标的后验概率$q{k} = P{|\mathbf{M}_k|= 1|\mathbf{Z}{1:k}}$.
  • 后验空间PDF $sk(\mathbf{M}) = p(\mathbf{m}_k|\mathbf{Z}{1:k})$

根据RFS框架下的贝叶斯滤波器,我们可知

其中

同时因为 $f{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}{1:k-1}) = 0, if |\mathbf{M}|\ge2$
所以我们能够证实$\int{f{k|k-1}(\mathbf{M}|\mathbf{Z}{1:k-1})}\delta\mathbf{M} = 1$
于是我们还可以得到

然后

所以,我们也明白了思路,计算$q{k|k-1}$需要从$f{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}{1:k-1})$,因为 $f{k|k-1}(\emptyset|\mathbf{Z}{1:k-1}) = 1 - q{k|k-1}$
我们也能知道,一个物体持续存在的概率包括两部分:新生物体被误认为持续存在的概率和正在持续存在的概率。
根据$f{k|k-1}({\mathbf{x}}|\mathbf{Z}{1:k-1})= s{k|k-1}q{k|k-1}$,我们能得到,

如果$pb = 0$, $q{k-1} =1$, $s_{k|k-1}$ 就是标准的Chapman-Kolmogorov

:$\mathbf{m}$ 是 state, $\mathbf{M}$ 是 RFS, $\textit{M}$ 是 set of states

$f$-> RFS, $s$->后验PDF(空间上), $q$->物体继续存在的后验概率,$p{k|k-1}$->传递密度$\pi{k|k-1}$