伯努利滤波器(一)——背景和数学基础

简介

伯努利滤波器是一个非高斯,非线性动态系统的基于RFS滤波器。它的主要特点是它为随机动态系统设计了一个开关,特别适用于跟踪时,物体时隐时现的问题,当然也适用于传染病,污染和社会问题。

伯努利是没有解析解,可以通过 PF 或者 Gaussian sum filter 实现。依据不同的测量模型有不同实现方式,本文就将对于不用的测量模型,显示不用的实现。

通常来说,预测是基于先验知识和观测进行的,因为先验知识和观测的 state是包含了所有描述系统的信息。
所以,在一个系统中,我们已知的信息有:{开关的随机模型(参数),state 的进化变化(先验),观测(观测值)}。
观测信息和 state 是通过一个非线性模型连接,因为不完美的监测,所以观测是 noisy,imprecise,和 ambiguous。

传统贝叶斯方法的目的是通过现在位置的的所有信息计算后验的 PDF(posterior PDF)。因为 posterior PDF 包括了所有的统计信息,所以这是问题的完备解。

通过这个 PDF 可以得到最佳的 state 估计。Posterior PDF 可以通过两步计算:预测和更新。求解 posterior PDF 是 optical Bayes Stochastic filter 的根本任务。在这个系统中,随机动态过程的开关是一直打开的,measurement 只受噪音影响。前提是 detection 是完美的。
在一般的非线性非高斯的情况下,没有解析解,所以有了 Monte Carlo 的方法,进而有 particle filter 的方法,这是因为PC 性能的提升和应用的广泛。

但是detection method 通常是不完美的,measurement model 通常也是不准确的,所以,标准的 Bayes filter 也进行了一些修补。通过增加的逻辑层,比如:
(a)target的出现或消失是建立在tracking 信息的 logic 基础。
(b)不完美的 detection 方法可以通过 data association 的辅助。
(c)不准确的测量(特征)采用非 Bayesian 的网络(Dempster-shafer theory)
虽然有许多工程的精巧设计,但是这都不是最优的。

序列贝叶丝(Sequential Bayesian estimation)结合 random set theory(RS),提供了一个不完美 detection 和不准确 measurement 的数学最优解。因为对于多目标的动态系统,RS 实现起来运算量太大,于是有了一下方法:
(a)Bernoulli filter (JoTT or JoTF [joint target detection and tracking filter]).
(b)PHD
(c)CPHD
(d)multi-Bernoulli filter

Bernoulli filter 的实现与应用

BF 是在单动态系统(switch 随机 on/off)下的最优 Bayes filter 在 tracking 下就是 appear or disappear。

key idea:引入一个存在的布尔(binary)随机变量来表示开关。
Bernoulli random finite 和 传统方法 的区别,state 被看成一个 set (可以空的 或者 单元素),元素包含布尔变量。因为这种方法没有解析解,只能通过 Particle filter 或者 Gaussian sum filter 近似实现。

我们将考虑不同的常见的 measurement model。第一个模型是针对稀疏信号的强度测量,例如声波或电磁能,化学污染水平,图像等。主要应用在信号网络,雷达/声纳或视频监控中。这种通过 measurement 来进行物体监测,跟踪叫做‘track-before-detect’。第二个模型是针对measurement是 detector 输出。这种情况下,需要处理必然丢失的监测(false detection)和误报(false alarms)。我们假设这个目标物体是一个点,一个物体只有一个观测值,其他值都是错误监测。并且哪个是 false detection 是不知道的。例如,当目标物体大于传感器的分辨率,这样就会产生一系列的 detection。最后,在某些情况下,measurement function 是不能准确知道的,或者说这种测量过程就是模糊,不准确的。这些类型的测量,被称为非标准测量。这些都可以通过random set theoretical framework和Bayesian estimation framework 计算。

数学基础

标准随机贝叶斯滤波器

随机滤波器可以追溯到1960s年。Kalman 和 Bucy 创立了线性滤波理论,同时Stratonovich 和 Kushner 开创了了用概率手段来解决非线性问题。

对于一个在贝叶斯网络下的,时域离散的随机滤波问题,通常假设 state $\mathbf{m}\in\mathbf{M}$ 向量提供了动态系统某一$t_k$时刻下的完备的状态信息。设离散时间为$k$。设离散动态系统的传递方程和观测方程为

$\mathbf{f}{m}$ 是非线性方程,代表一阶马尔科夫过程。随机过程 $\mathbf{v}{k-1}$ 是PDF 的独立同分布 independent identically distributed (IID)。随机过程 $\mathbf{w}{k}$ 是不同于 $\mathbf{v}{k-1}$ PDF 的独立同分布。设 $\mathbf{f}{m}$, $\mathbf{f}{z}$ 和他们的 PDF $p{\mathbf{v}}$ 和 $p{\mathbf{w}}$ 是已知的。传递密度是 $\pi{k|k-1}(\mathbf{m}{k}|\mathbf{m}{k-1}) = p{\mathbf{v}}(\mathbf{m}{k-1}- \mathbf{f}{m}(\mathbf{m}{k}))$. 似然方程 $h{k}(\mathbf{z}k|\mathbf{m}_k) = p{\mathbf{w}}(\mathbf{z}{k}- \mathbf{f}{z}(\mathbf{m}{k}))$。离散贝叶斯的目的就是估计状态的后验PDF $\varphi (\mathbf{m}_k|\mathbf{z}{1:k})$,其中 $\mathbf{z}{1:k} \equiv \mathbf{z}{1},…,\mathbf{z}{k}$,当 $\varphi(\mathbf{m}{0})$, $\varphi(\mathbf{m}{k-1}|\mathbf{z}{1:k-1})$ 和 $\mathbf{z}_k$ 已知时,通过Chapman—Kolmogorov我们可知,

第二部是使用贝叶斯网络来更新预测的 PDF

随机有限子集

随机有限子集(RFS)是一个在无序有限子集中取值的随机变量。RFS的基数 $\mathbf{M}$ 是随机,通过离散分布来构建 $p(n) = P{|\mathbf{M} = n|}$,$n \in N_0$.$\mathbf{M}$ 是通过他的基数分步 $p(n)$ 完全给定。并有对称联系分步$\varphi_n(\mathbf{m}_1,…,\mathbf{m}_n)$.

为了简化,我们采用Mahler的方法,referred to finite set statistics (FISST)。RFS变量$\mathbf{M}$的FISST为$f(\mathbf{M}$. PDF 可以通过 $p(n)$ 和 $\varphi_n(\mathbf{m}_1,…,\mathbf{m}_n)$ 来唯一确定。

当为整数集时,

$f(\mathbf{M})$ 收敛于1.

伯努利 RFS:

RFS 的势(cardinality)分步 $p(x)$ 是伯努利的。伯努利 RFS是空(概率$1-p$)或者是一个元素(概率$p$)。所以伯努利RFS $\mathbf{M}$ 的FISST PDF可以表示为:

独立同分布(IID)簇RFS

已知势 $|\mathbf{M}|$ ,独立同分布簇RFS$\mathbf{M}$的元素是每个IID随机变量根据PDF $\varphi(m)$ 来分布。于是我们可知 $\mathbf{M}$ 的FISST PDF为

因为IID的独立性

伯松RFS

伯松RFs是IDD 簇RFS的特殊形式,因为假设势的分布伯松的

二项式RFS

二项式RFS也是IID簇RFS的特殊形式,他的势分布是个二项式分布(项的数目为 $L$, 成功概率为 $q$)

它的 FISST PDF变为

注意: 当$L = 1$, 二项式RFS就变成伯努利RFS

假设我们在 k 时,有了有限集来表示多目标,$\mathbf{M}k = {\mathbf{m}{k,1},…,\mathbf{m}{k,n_k}}$,这里$n_k$是时变目标的数目。我们假设这个过程是一个 Markov 过程,他的传递密度是$\phi{k|k-1}(\mathbf{M}k|\mathbf{M}{k-1})$。$\mathbf{M}_k$的观测为$\mathbf{Z}_k$,他可以是向量,一个 RFS 也可以是一个封闭集。$h_k(\mathbf{Z}_k|\mathbf{X}_k)$是似然函数。通过

RFS是贝叶斯的非同寻常的扩展,因为传递密度和似然密度可以很复杂。